第三节 正态性检验与两方差的齐性检验(当前章节内容组合)

一、正态性检验

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料,如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况,用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显着等,因此在用这些方法前,需考虑进行正态性检验。

正态分布的特征是对称和正态峰。分布对称时众数和均数密合,若均数-众数>0,称正偏态。因为有少数变量值很大,使曲线右侧尾部拖得很长,故又称右偏态;若均数-众数<0称负偏态。因为有少数变量值很小,使曲线左侧尾部拖得很长,故又称左偏态,见图7.1(a)。

正态曲线的峰度叫正态峰,见图7.1(b)中的虚线,离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰,离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。

频数分布的偏度和峰度

图7.1 频数分布的偏度和峰度

正态性检验的方法有两类。一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验,另一类是对两者各用一个指标检验,前者有W法、D法、正态概率纸法等,后者有动差法亦称矩法。现仅将W法与动差法分述于下;

1.W法 此法宜用于小样本资料的正态性检验,尤其是n≤50时,检验步骤如下;

(1)将n个变量值Xi从小至大排队编秩。

X12<……

见表7.5第(1)栏,表中第(2)、第(3)栏是变量值,第(2)栏由上而下从小至大排列,第(3)栏由下而上从小至大排列。第(4)栏是第(3)栏与第(2)栏之差。

(2)由附表5按n查出ain系数列入表7.5第(5)栏,由于当n为奇数时,对应于中位数秩次的ain为0,所以中位数只列出,不参加计算。第(6)栏是第(5)栏与第(4)栏的乘积。

(3)按式(7.8)计算W值

频数分布的偏度和峰度(7.8)

式中分子的∑,当n是偶数时,为频数分布的偏度和峰度的缩写,当n是奇数时为频数分布的偏度和峰度的缩写,表7.5

第(6)栏的合计平方后即为分子。分母按原始资料计算。

(4)查附表6得P值,作出推断结论,按n查得W(n,α),α是检验前指定的检验水准,若W>W(n,α)则在α水准上按受H,资料来自正态分布总体,或服从正态分布;若W≤W(n,α),则在α水准上拒绝H,接受H1,资料非正态。

例7.8 测得20例40—49岁健康人右侧腓总神经的传导速度(m/sec)如表7.5第(2)、第(3)栏,试检验此资料是否服从正态分布。

H:总体服从正态分布

H1:总体为非正态分布

α=0.05

计算表7.5各栏。

表7.5 W法正态性检验计算表

秩号 传导速度(m/sec)
i(1) Xi(2) Xa-i+1(3) Xa-i+1-Xi(4)=(3)-(2) ain(5) ain(Xa-i+1-Xi)(6)=(5)(4)
1 40.7 56.7 16.0 0.4734 7.5744
2 40.9 56.0 15.1 0.3211 4.8486
3 46.0 55.0 9.0 0.2565 2.3085
4 47.6 54.9 7.3 0.2085 1.5221
5 47.7 53.5 5.8 0.1686 0.9779
6 48.3 52.9 4.6 0.1334 0.6136
7 49.1 51.8 2.7 0.1013 0.2735
8 50.0 50.9 0.9 0.0711 0.0640
9 50.1 50.9 0.8 0.0422 0.0338
10 50.2 50.8 0.6 0.0140 0.0084
18.2240∑ain(Xa-i+1-Xi)

∑Xi=1004  ∑Xi2=50756.16  ∑(X-x)2=355.36

代入式(7.8)

W=(18.2240)2/355.36=0.9347

查附表6,n=20,α=0.05,W(20,0.05)=0.905

W>W(20,0.05)P>0.1,在α=0.05水准上接受H,该资料服从正态分布。

2.动差法 又称矩法。既能用于小样本资料,亦可用于大样本资料的正态性检验。本法运用数学上三级动差和四组动差分别组成偏度系数与峰度系数,然后检验资料中否服从正态分布。当频数分布为正态时,偏度系数与峰度系数分别等于0,但从正态分布总体中抽出的随机样本,由于存在抽样误差,其样本偏度系数g1与样本峰度系数g2不一定为0,为此,需检验g1、g2与0的相差是否有显著性。其检验假设为①偏度系数等于O,即频数分布对称;②峰度系数等于0,即为正态峰。

偏度系数g1、峰度系数g2的公式见式(7.9)与(7.11)。当用频数表资料计算时可用式(7.10)与式(7.12),式中n为例数,f为频数。

频数分布的偏度和峰度

频数分布的偏度和峰度(7.10)

频数分布的偏度和峰度(7.11)

频数分布的偏度和峰度(7.12)

g1、g2的抽样误差分别为Sg1与Sg2,见式(7.13)与式(7.14)

频数分布的偏度和峰度(7.13)

频数分布的偏度和峰度(7.14)

假设检验用u检验,其公式为

u1=g1/Sg1(7.15)

u2=g2/Sg2(7.16)

u的显著性界限为

∣u∣<1.96P>0.05在α=0.05的水准上接受H。

1.96≤∣u∣<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水准上拒绝H。

∣u∣≥2.58P≤0.01在α=0.01的水准上拒绝H。

例7.9 用动差法检验例7.8的资料是否服从正态分布。

1.H:频数分布对称,H1:频数分布不对称。

2.H:频数分布为正态峰,H1:频数分布不是正态峰。

α=0.05

∑(X-x )2=355.36,∑(X-x )3=-1032.45

∑(X-x )4=20150.4316 n=20

频数分布的偏度和峰度

频数分布的偏度和峰度

u2=0.6221/0.9924=0.627 P>0.20

在α=0.05的水准上接受H,频数分布对称(P>0.05),并为正态峰(P>0.20)。因此可认为该资料服从正态分布。

二、两方差的齐性检验

方差齐性检验的方法是以两方差中较大的方差为分子,较小的方差为分母求一比值(称为F值),然后将求得的F值与临界值比较,看相差是否显着,现举一例说明。

例7.10 某单位测定了蓄电池厂工人32号,得尿氨基乙酰丙酸(mg/l)的平均含量为7.06,方差为42.3072,又测定了化工厂工人6名,得平均含量为3.48,方差为0.9047,试比较两方差的相差是否有显着意义?

检验假设H:σ1222,H1:σ12≠σ22α=0.05

定方差较大的一组为第1组,较小者为第2组,求出F值,公式为

F=S12/S22,S1>S2(公式7.17)

本例F=42.3072/0.9047=46.76

现将F值与附表7中的F.05(ν1,ν2)比较。该表上端数值是较大均方(即方差)的自由度,用v1表示,左侧的数值是较小均方的自由度,用ν2表示。本例ν1=n1-1=32-1=31(表内ν1纵行没有31,可查邻近的数值30),ν2=n2-1=6-1=5,查得F.05(30,5)=6.23,本例F=46.76>F.05(30,5),P<0.05,故在α=0.05水准处拒绝H,接受H1。两方差的差别显著。